Buenos días chic@s, estamos en junio y entramos en la recta final del curso. Vamos a ver un poco del tema que nos queda que es estadística y probabilidad.
ESTADÍSTICA
para compararlos y sacar conclusiones.
Vamos a ver primero unos conceptos básicos:
Población: Es el conjunto total de individuos sobre los que se quiere
estudiar unos datos determinados.
Por ej., si queremos estudiar la estatura media de los españoles, la
población la constituirán todos los españoles.
O si queremos estudiar la nota media de Matemáticas en 3º de la ESO en el
Eduardo Pondal, la población la constituyen todos los alumnos de 3º de ESO
de nuestro cole.
Muestra: Cuando la población es muy grande (por ejemplo, todos los
españoles) o difícil de estudiar (por ej., la calidad de las bombillas o la
deformación de los coches en un choque) se elige una muestra, que es
una parte de la población representativa de la misma, es decir, con unas
características similares. Ha de elegirse al azar.
Por ejemplo, para estudiar la estatura de los españoles en la muestra
deberíamos incluir a individuos de diferentes edades, de diferente estrato
social y económico, de distinto lugar geográfico, de ambos sexos.
Variable estadística: Es el dato o característica que se quiere estudiar.
Por ejemplo: la estatura, la calidad de las bombillas, la nota de Matemáticas,
etc.
Las variables pueden ser:
1. Variable cuantitativa: Es aquélla que estudia algo que se expresa mediante
números. Por ej., la estatura, la nota de Matemáticas, etc.
A su vez puede ser:
- discreta, si toma valores aislados (números enteros), como, por
ejemplo, el número de hermanos de los alumnos de 3º de ESO.
Los valores de la variable son números enteros: 0, 1, 2, ...; pero un alumno
no puede tener 2'3 hermanos, por ejemplo.
- continua, si toma todos los valores dentro de un intervalo, como
por ejemplo estatura de los alumnos de 3º ESO. Los valores de la variable
pueden ser, por ejemplo, desde 1,50 metros hasta 2 metros de estatura,
pudiendo tomar cualquier valor intermedio.
2. Variable cualitativa: Es aquélla que estudia algo que no puede expresarse
por números, es decir, no miden una cantidad sino una cualidad.
Por ej., qué programa de TV se ve más, qué libro de lectura es el preferido
por los alumnos de 3º de ESO, etc.
Tablas de frecuencias:
En un estudio estadístico, una vez obtenidos los datos hay que recontarlos, ordenarlos
y tabularlos, esto es, colocarlos en tablas en las que se aprecie información sobre las frecuencias
de cada valor o cada cualidad de la variable. Por ejemplo, si estamos estudiando las notas de
Matemáticas de 30 alumnos (N) de 2º de la ESO habríamos de proceder de una forma parecida
a la siguiente:
|
Variable
(Notas)
xi
|
Frecuencia
(Alumnos)
ni
|
Frecuencia
acumulada
Ni
|
Frecuencia
relativa
fi= ni / N
|
xi · ni
|
|
0
|
2
|
2
|
0,07
|
0
|
|
1
|
2
|
4
|
0,07
|
2
|
|
2
|
1
|
5
|
0,03
|
2
|
|
3
|
4
|
9
|
0,13
|
12
|
|
4
|
2
|
11
|
0,07
|
8
|
|
5
|
3
|
14
|
0,1
|
15
|
|
6
|
3
|
17
|
0,1
|
18
|
|
7
|
4
|
21
|
0,13
|
28
|
|
8
|
3
|
24
|
0,1
|
24
|
|
9
|
4
|
28
|
0,13
|
36
|
|
10
|
2
|
30
|
0,07
|
20
|
|
30
|
1
|
165
|
La primera columna son las notas y la segunda columna son los alumnos que han obtenido cada
una de esas notas. Las demás columnas se obtienen con fórmulas que describimos más adelante.
De esta forma enseguida veríamos, por ejemplo, que ha habido 3 alumnos que han tenido un 6.
Frecuencia absoluta (ni): número de veces que aparece cada valor (xi) de la variable
(p. ej., la frecuencia de la nota 7 en este ejemplo es 4). La suma de todas las frecuencias
absolutas es igual al número total de datos (N).
Frecuencia relativa (fi): es el resultado de dividir la frecuencia absoluta entre el número total de
datos (N):
La suma de todas las frecuencias relativas es igual a la unidad.
La frecuencia relativa se puede convertir en porcentaje multiplicándola por 100. Así,
p. ej., el porcentaje de alumnos que han obtenido un 7 en Matemáticas es del 13 % (0,13 · 100)
Aquí os dejo unos vídeos para que entendáis como se hacen las tablas:
Representaciones gráficas:
Para dar a conocer los datos de un estudio estadístico se confeccionan gráficas estadísticas,
de las cuales estudiaremos los Diagramas de barras y los Diagramas de sectores.
Diagrama de barras:
Un diagrama de barras consiste en la representación mediante barras de los valores de
la variable, con una altura de la barra proporcional a su frecuencia absoluta.
Las barras se colocan en unos ejes de coordenadas: en el eje de las abscisas se ponen
los valores de la variable y en el eje de ordenadas su frecuencia.
Se pueden representar variables cualitativas o cuantitativas.
Si unimos los puntos medios de los extremos de las barras por una línea obtenemos un
polígono de frecuencias, que se utiliza con variables cuantitativas.
Diagrama de Sectores:
Un diagrama de sectores consiste en representar los valores o cualidades de la variable
en sectores circulares.
La amplitud o área de cada sector ha de ser proporcional a la frecuencia de cada valor
(para ello se dividen los 360º de la circunferencia entre el número total de datos, N, para saber
cuántos grados corresponden a cada dato, y el resultado se va multiplicando por cada frecuencia
absoluta de los respectivos valores de la variable).
Ejemplo: Se ha preguntado a 30 alumnos de una clase de 2º de ESO qué estación del año prefería
n: Primavera (P), Verano (V), Otoño (O) o Invierno (I). Los resultados han sido éstos: P, V, V, P, O,
O, V, V, I, P, I, P, I, O, V, V, V, I, O, P, P, V, V, O, O, P, V, V, V, P. Tabula los datos en una tabla de
frecuencias y representa los resultados en un diagrama de sectores.
Variable
(Estación del año)
xi
|
Frecuencia
ni
|
Amplitud de sectores
(Para cada dato: 360º : 30 = 12º)
|
P
|
8
|
8 · 12º = 96º
|
V
|
12
|
12 · 12 = 144º
|
O
|
6
|
6 · 12º = 72º
|
I
|
4
|
4 · 12º =
|
30
|
30 · 12º = 360º
|
los pictogramas, que consisten en representar los datos con dibujos referidos a la variable que
se estudia y de tamaño proporción al a la frecuencia de los valores de la variable.
En cualquier representación gráfica lo que queremos es representar de manera esquemática una
gran cantidad de datos de manera simplificada y organizada para que sea fácil interpretarlos.
Ejercicios
1. Indica cuáles variables son cualitativas y cuáles cuantitativas
1 Comida Favorita.
2 Profesión que te gusta.
3 Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada.
4 Número de alumnos de tu Instituto.
5 El color de los ojos de tus compañeros de clase.
6 Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase.
Indica cuáles variables son cualitativas y cuales cuantitativas:
1Comida Favorita.
Cualitativa
2Profesión que te gusta.
Cualitativa
3Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada.
Cuantitativa
4Número de alumnos de tu Instituto.
Cuantitativa
5El color de los ojos de tus compañeros de clase.
Cualitativa
6Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase.
Cuantitativa
2. Clasificar las siguientes variables estadísticas en cualitativas, cuantitativas
continuas o discretas
1 La nacionalidad de una persona.
2 Número de litros de agua contenidos en un depósito.
3 Número de libros en un estante de librería.
4 Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados.
5La profesión de una persona.
6El área de las distintas baldosas de un edificio.
Clasificar las siguientes variables en cualitativas o cuantitativas, y en discretas o continuas.
1La nacionalidad de una persona.
Cualitativa
2Número de litros de agua contenidos en un depósito.
Cuantitativa y continua
3Número de libros en un estante de librería.
Cuantitativa y discreta
4Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados.
Cuantitativa y discreta
5La profesión de una persona.
Cualitativa
6El área de las distintas baldosas de un edificio.
Cuantitativa y continua
Ejercicio 3
Se le pidió a un grupo de personas que indiquen su color favorito, y se obtuvo los resultados de la siguiente tabla de frecuencias:
Elaborar una gráfica de barras a partir de dichos resultados.
Solución:
En el eje horizontal (x), colocamos los valores de la variable, es decir, los colores preferidos: negro, azul, amarillo y rojo. En el eje vertical (y), colocaremos la frecuencia absoluta.
Veamos el diagrama de barras
Dibujar ahora el polígono de frecuencias
Polígono de frecuencias
Realiza ahora un gráfico circular
Gráfico circular
Realiza ahora un gráfico circular
Gráfico circular
Es un gráfico que se forma uniendo los puntos medios de la parte superior de las barras mediante segmentos de recta. El polígono de frecuencias es de mucha utilidad cuando se representa más de una serie en una misma gráfica.
Solución:
Partimos de la gráfica de barras que realizamos en el problema anterior. Luego, en el punto medio de la parte superior de cada una de las barras, trazamos un segmento hacia el punto medio de la parte superior de la siguiente barra.
Es un gráfico usado para representar frecuencias, porcentajes y proporciones. Se suele usar con variables cualitativas, ya que con variables cuantitativas puede generar confusiones.
También es llamado, gráfico de pastel, gráfico de torta o gráfica de 360°.
Con los datos del problema anterior, elaborar un gráfico circular con las frecuencias porcentuales. Recordemos la tabla de frecuencias inicial:
Usaremos la frecuencia porcentual. Calculemos el ángulo central de cada sector:
Es decir, multiplicando la columna de frecuencia relativa por 360 ya tendremos el ángulo.
Usando el transportador, medimos cada uno de los ángulos centrales, y dibujamos el gráfico.
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